3円玉について考える

執筆 : 右弐  /  作成 : 2011.08.01  /  最終更新 : 2011.08.06
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1円、10円、100円玉はあるとして・・・

10進法の世界に生きる以上、1円、10円、100円玉は欠かせないだろう。

その中間を補うのは、5円玉、50円玉、500円玉。

でも、本当に効率が良いのは、実は3円玉、30円玉、300円玉だ。
次の表で見てみよう。

表1:中間硬貨が5円玉と3円玉の場合の所持数比較
所持金下一ケタ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 枚数の期待値 合計枚数の期待値
5円玉
(現行)
1円玉所持数 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 2.0 2.5
5円玉所持数 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0.5
3円玉
(新案)
1円玉所持数 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 0.9 2.1
3円玉所持数 0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 1.2

上の表から、1のケタだけで、財布の中の硬貨が平均0.4枚も少なくなることがわかる。
仮に下3けたの金額000〜999が等確率で起きるとするなら、平均で1.2枚も少なくなるということだ。

なんで「3」なのか?

1と10のあいだの数として適切なのが、5ではなく、3だからです。

あいだが5の場合は、
 1 → 5 → 10   と増えるとき、5倍、2倍 と量が増えており、増加率が一定でない。

これに対して、あいだが3の場合は、
 1 → 3 → 10   と増えるとき、3倍、3.3倍 と増加率がほぼ一定となる。

1と10の2つの数に対して、5は「相加平均」に近い値、3は「相乗平均」に近い値で、
間にひとつ値をとるなら、相乗平均に近い値を選ぶと、増加率が一定に近くなります。
増加率が一定に近づけば、それぞれの硬貨の守備範囲の広さが均等に近づき、効率的になります。

分銅で重さをはかる場合、1g, 2g, 4g, 8g ・・・と、2倍ずつのものがあれば、効率よく重さを作れるのに似ています。

おまけ

・・・と、なんでこんなことを考えたのかというと、先ほどコンビニで買い物した際、惜しくも1円足りず、財布の中の小銭が999円になってしまったからです。
以前から5円玉じゃなくて3円玉だろ!と思ってはいたんですが、
今日実際に計算してみると、3円玉の導入だけで平均で0.4枚も変わるようで、驚きです。
なんで採用されていないんだろうか。

アメリカの紙幣は10ドル、20ドル、50ドル、100ドルという感じで、大体2倍ずつに設定されているので合理的です。
25セント硬貨なんかは日本人から見て違和感がありますが、2枚持つ意味のない50円玉よりは存在意義があります。

2000円札が根付かなかった日本は、5円玉を廃止して3円玉を導入するあたりから始めると面白いのではないかと、勝手に想像しています。
ちなみに、「5」が節目であり、5円玉がなくなると考えにくくなる、と思うのはたぶん慣れの問題で、最初から3円玉で慣れていれば、そこまで違和感は感じないのだろうと思うのですが、どうなんでしょうね。

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